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    電子發燒友網 > 模擬技術 > 正文

    關于香農采樣定理和奈奎斯特速率的討論

    2020年05月22日 17:24 ? 次閱讀

    奈奎斯特采樣定理,或者更準確地說是奈奎斯特-香農定理,是控制混合信號電子系統設計的基本理論原理。

    正如我們所知道的,如果沒有模數轉換和數模轉換,現代技術就不會存在。實際上,這些操作已經變得非常普遍了,以至于說“一個模擬信號可以轉換成數字信號,然后再轉換成模擬信號,而不會造成任何重大的信息損失”。

    這聽起來像是一種真理,但我們怎么知道情況確實如此呢?當它看起來似乎丟失了我們在單個樣本之間觀察到的如此之多的信號行為時,為什么還說采樣是一種無損操作呢?

    如圖1所示,我們如何能從一個這樣的信號開始:

    圖1

    再將其數字化成圖2這樣:

    圖2

    然后還敢聲稱“原始信號可以恢復,且不會丟失信息”?

    奈奎斯特-香農定理

    之所以可以提出這樣的說法,是因為它符合現代電氣工程最重要的原理之一:

    如果一個系統以超過信號最高頻率至少兩倍的速率對模擬信號進行均勻采樣,那么原始模擬信號就能從采樣產生的離散值中完全恢復。

    關于這個定理還有很多話要說,但首先,讓我們試著弄清楚到底該怎么稱呼它。

    香農?奈奎斯特?科捷利尼科夫?惠特克?

    我當然不是那個決定誰在闡述、論證,或者解釋“香農-奈奎斯特-科特爾尼科夫-惠特克”采樣和插值理論方面最值得贊揚的人。其實,這四個人都有參與其中,并且取得了顯著成效。

    但其中,哈里 · 奈奎斯特這個人的角色,似乎已經超出了它最初的意義。例如,在譚和江撰寫的《數字信號處理:基本原理與應用》一書中,上述原理被確定為“香農采樣定理” ;在塞德拉和史密斯的《微電子電路》一書中,我發現了下面這句話:“事實上,我們可以在有限數量的樣本上進行處理……而忽略樣本之間的模擬信號細節……這是基于香農采樣定理?!?/p>

    因此,我們或許應該避免使用“奈奎斯特采樣定理”或者“奈奎斯特采樣理論”這些詞匯。如果我們需要把名字和這個概念聯系起來,那么我建議只含有“香農”或者“奈奎斯特和香農”。事實上,也許是時候過渡到更匿名的東西了,比如“基本采樣定理”。

    如果你覺得這有點令人迷惑,請記住上面提到的采樣定理與奈奎斯特速率是不同的,本文稍后將對此進行解釋。我認為,沒人能把奈奎斯特和他的速率分開,所以最終達成了一個很好的妥協:香農得到了定理,奈奎斯特得到了速率。

    時域采樣定理

    如果我們將采樣定理應用于頻率f信號的正弦波,就必須要對f樣本≥2f信號的波形進行采樣才能實現完美重構。換句話說,每個正弦周期至少需要兩個樣本。接下來,讓我們先從時域的角度來理解一下這句話。

    在下面這張圖中,正弦波的采樣頻率遠遠高于信號頻率:

    圖3:每個圓點代表一個采樣瞬間,即測量模擬電壓后,并將其轉換為數字的精確時刻

    為了更加直觀地了解這個采樣過程,我們可以繪制采樣值,然后用直線將它們連接起來。如下圖所示的直線近似值看起來與原始信號完全相同:相較于信號頻率,采樣頻率非常高,因此線段與相應的曲線正弦波線段沒有明顯的差異。

    圖4

    但隨著我們降低采樣頻率,直線近似值的外觀與原始圖像有所不同了。

    圖5:每個周期20個樣本(f樣本=20f信號)

    圖6:每個周期10個樣本(f樣本=10f信號)

    圖7:每個周期5個樣本(f樣本=5f信號)

    臨界值:每個周期2個樣本

    隨著我們把每個周期的采樣數量減少到5個以下,采樣產生的數據點仍將繼續保持模擬信號的循環性質,但最終會達到一個頻率信息被破壞的點。首先,考慮下面的情節:

    圖8:每個周期2個樣本(f樣本=2f信號)

    當f樣本=2f信號時,正弦曲線完全消失了。但是,由采樣數據點產生的三角波并沒有改變正弦曲線的基本周期性,三角波的頻率與原始信號的頻率相同。

    然而,一旦我們將采樣頻率降低到每個周期少于2個樣本時,這種說法就不再成立了。因此,在混合信號系統中,對于原始信號中的最高頻率,每個周期2次采樣是至關重要的臨界值,其對應的采樣頻率就稱為奈奎斯特速率:

    如果我們以低于奈奎斯特速率的頻率對模擬信號進行采樣,那么將無法完美地重構原始信號。

    下面兩張圖顯示了當采樣頻率低于奈奎斯特速率時所發生的周期性等效損失:

    圖9:每個周期2個樣本(f樣本=2f信號)

    圖10:每個周期1.9個樣本(f樣本=1.9f信號)

    當f樣本=1.9f信號時,離散時間波形基本上獲得了全新的周期性行為。采樣模式的完全重復,需要一個以上的正弦波周期。

    然而,當我們每個周期只有1.9個樣本時,采樣頻率不足的影響就有點難以解釋了。接下來的情節,更清楚地說明了這一切:

    圖11:每個周期1.1個樣本(f 樣本 =1.1f 信號 )

    如果你對正弦波一無所知,并且使用1.1f信號采樣產生的離散時間波形進行分析,那么你將會對原始信號的頻率產生嚴重的錯誤想法。此外,如果你只有離散數據,那么就不可能知道頻率特性已經被破壞了。采樣產生了一個原始信號中不存在的新頻率,但你不知道這個頻率不存在。

    所以,最終結論是:當我們以低于奈奎斯特速率的頻率采樣時,信息就會永久地丟失,原始信號無法完美地重構。

    結語

    本文討論了香農采樣定理和奈奎斯特速率,并且試圖通過觀察采樣在時域中的影響來深入了解這些概念。

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    魏德米勒最新推出的ACT20P-PRO DCDC II是一個用戶可配置的模擬信號調整器,適用于從機器....
    發表于 2019-12-04 10:46? 229次閱讀
    魏德米勒推出模擬信號調整器,可對電流電壓信號進行...

    樣本不能揭示的細節信息大數據給我們揭秘了

    在大數據時代,我們可以分析更多的數據,有時候甚至可以處理和某個特別現象相關的所有數據,而不再依賴于隨....
    發表于 2019-11-29 11:07? 964次閱讀
    樣本不能揭示的細節信息大數據給我們揭秘了

    模擬信號可幫助降低外來噪聲的干擾和加強精確度

    致力于開發醫療診斷設備的公司面臨的挑戰就是要為消費者提供物美價廉的產品。在降低醫護成本和改善病人護理....
    發表于 2019-11-26 14:46? 283次閱讀
    模擬信號可幫助降低外來噪聲的干擾和加強精確度

    模擬IC是什么,它的未來市場發展將會如何

    模擬IC是處理模擬信號的集成電路模擬IC屬于集成電路的子分類。按照處理信號形式的不同,集成電路可分為....
    發表于 2019-11-22 15:13? 548次閱讀
    模擬IC是什么,它的未來市場發展將會如何

    幾步搞定歐迅WV50公網對講機設置

    頂部我們可以看到有2根天線,短天線就是這款歐迅WV50公網對講機的公網天線,也就是對講機內部SIM卡....
    發表于 2019-11-19 14:53? 3397次閱讀
    幾步搞定歐迅WV50公網對講機設置

    模擬信號在分布式系統中的實際作用是什么

    在分布式系統中,模擬信號在傳感器或負載間來回遠程傳輸。在這類系統中,信號要傳輸很長的距離,噪聲抑制能....
    發表于 2019-11-07 14:42? 339次閱讀
    模擬信號在分布式系統中的實際作用是什么

    關于模擬信號采樣與AD轉換的簡單介紹

    實際中,信號往往是無線帶寬的,如何保證帶寬有限?所以,我們在模擬信號輸入端要加一個低通濾波器,使信號....
    發表于 2019-11-05 15:25? 637次閱讀
    關于模擬信號采樣與AD轉換的簡單介紹

    魏德米勒推出可轉換電流電壓信號的模擬信號調整器

    魏德米勒最新推出的ACT20P-PRO DCDC II是一個用戶可配置的模擬信號調整器,適用于從機器....
    發表于 2019-11-05 15:19? 181次閱讀
    魏德米勒推出可轉換電流電壓信號的模擬信號調整器

    高分辨率數字系統中的電阻器

    在大多數情況下,模擬信號由阻抗比決定。如果硬件開發人員能夠了解長期保持穩定的精密模擬電子電路的好處,....
    發表于 2019-11-04 15:38? 416次閱讀
    高分辨率數字系統中的電阻器

    Melexis推出專為測量汽車應用中極低壓力的...

    Melexis 宣布推出 專為測量汽車應用中極低壓力的相對壓力傳感器 IC MLX90821。MLX....
    發表于 2019-11-01 14:44? 547次閱讀
     Melexis推出專為測量汽車應用中極低壓力的...

    DC1785B,LTC2991的演示板是一款高性能溫度,電壓和電流監視器,使用I2C接口進行通信

    DC1785B,LTC2991的演示板是一款高性能溫度,電壓和電流監視器,使用I2C接口進行通信。它提供亞毫伏電壓分...
    發表于 2019-10-25 08:38? 429次閱讀
    DC1785B,LTC2991的演示板是一款高性能溫度,電壓和電流監視器,使用I2C接口進行通信

    消除噪聲干擾的方法有哪些?

           許多高速數據采集應用,如激光雷達或光纖測試等,都需要從嘈雜的環境中采集小的重復信號,...
    發表于 2019-10-25 06:41? 716次閱讀
    消除噪聲干擾的方法有哪些?

    分布式系統中模擬信號遠程傳輸的噪聲抑制

    在分布式系統中,模擬信號在傳感器或負載間來回遠程傳輸。在這類系統中,信號要傳輸很長的距離,噪聲抑制能....
    發表于 2019-10-23 15:58? 222次閱讀
    分布式系統中模擬信號遠程傳輸的噪聲抑制

    模擬信號路徑在便攜醫療設備中的基本技術要求

    致力于開發醫療診斷設備的公司面臨的挑戰就是要為消費者提供物美價廉的產品。在降低醫護成本和改善病人護理....
    發表于 2019-10-23 15:52? 165次閱讀
    模擬信號路徑在便攜醫療設備中的基本技術要求

    基于APC芯片和光耦隔離的模擬信號隔離模塊GM1...

    GM11XXP是客益電子推出的模擬信號隔離模塊,基于APC芯片和光耦隔離,可以實現直流電壓對直流電壓....
    發表于 2019-10-22 11:18? 1829次閱讀
    基于APC芯片和光耦隔離的模擬信號隔離模塊GM1...

    嵌入式單片機視頻報警系統的工作原理是什么?

    利用以單片機應用系統為中心的小型嵌入式設備進行數據采集,并通過網絡有效傳輸數據,已成為數據采集領域的研究焦點。...
    發表于 2019-10-21 08:31? 484次閱讀
    嵌入式單片機視頻報警系統的工作原理是什么?
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